lunes, 16 de mayo de 2011

TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCION DE RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO.

Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z.
El teorema de De Moivre establece que si un número 
complejo z = r(cos x + i sin x), entonces zn = rn(cos nx + i sin nx), 
en donde n puede ser enteros positivos,
enteros negativos, y exponentes
fraccionarios.



Potencia.
Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:
zn = z•z•..(n veces)..•z = (rx)•(rx)•..(n veces)..•(rx) = (r•r•..(n veces)..•r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n•x
Es decir,
(rx)n = (rn)n•x
Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:
z = r•(cos x + i•sen x) ==> zn = rn•(cos x + i•sen x)n = rn•(cos n•x + i•sen n•x)
De donde:
cos(n•x) + i•sen(n•x) = (cos x + i•sen x)n
expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.
Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.
Ejemplo:
Conocidos cos x y sen x , calculemos cos 4x y sen 4x :
cos 4x + i•sen 4x = (cos x + i•sen x)4 = (40)•cos4x + (41)•cos3x•i•sen x + (42)•cos2x•i2•sen2x + (43)•cos x•i3•sen3x + (44)i4•sen4x = cos4x + 4•i•cos3x•sen x - 6•cos2x•sen2x - 4•i•cos x•sen3x + sen4x = (cos4x - 6•cos2•sen2x + sen4x) + (4•cos3x•sen x - 4•cos x•sen3x)•i
Como dos complejos son iguales si y sólo si lo son sus partes reales así como sus partes imaginarias, tenemos que:
cos 4x = cos4x - 6•cos2x•sen2x + sen4x
sen 4x = 4•cos3x•sen x - 4•cos x•sen3x
Raíz n-ésima de un núnero complejo.
Raíz n-ésima.
Sea z = rx un número complejo. Calculemos su raíz n-ésima. Ésta va a ser un número complejo w = sy de forma que wn = (sy)n = rx. Es decir:
(sn)n•y = rx ==> sn = r ==> s = r1/n
n•y = x + 2•k•pi , con k C Z y = (x + 2•k•pi)/n , con k C Z
Cualquiera de los números complejos que se obtienen de sy al variar k en Z es una raíz n-ésima de z.
Teorema.
Todo numero complejo z tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas.
Demostración.
Sea z = rx un número complejo. Hemos dicho que sy es una raíz n-ésima de z, siendo s = r1/n e y = (x + 2•k•pi)/n , con k C Z.
Si llamamos wk = sy , cuando k C {0,1,2,…,n-1}, obtenemos exactamente n raíces n-ésimas de z distintas. Veamos que cualquier otra raíz coincide con una de estas xk.
Sea t C Z, t distinto de 0,1,2,…,n-1. Entonces, por el algoritmo de la división euclídea es:
t = p•n + r, con 0 <= r < n , y r número entero.
Si notamos por xt = sy, siendo y = (x + 2•t•pi)/n, tenemos que:
y = (x + 2•t•pi)/n = (x + 2•r•pi +2•n•p•pi)/n = (x + 2•r•pi)/n + 2•p•pi
De donde xt y xr tienen el mismo argumento, y por tanto xt = xr. Además, xr es uno de los xk que dijimos antes, ya que r C {0,1,2,…,n-1}.
c.q.d.
En resumen, para calcular la raíz n-ésima del número complejo z = rx , se procede de la siguiente manera:
• El módulo será la raíz n-ésima del módulo de z.
• El argumento viene dado por la fórmula:
y = (x + 2•k•pi)/n dándole a k los valores 0,1,2,…,n-1

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