ECUACIONES POLINOMICAS.

Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

¿Cómo resolver una ecuación de primer grado? Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios. Para empezar comenzemos con una ecuación de primer grado sencilla: 9x − 9 + 108x − 6x − 92 = 16x + 28 + 396 Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los terminos, el izquierdo o el derecho.

1- TRANSPOSICIÓN: Lo primero que debemos hacer es colocar los terminos con X en un lado, y los numeros enteros en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos números que tendremos que pasarlos al otro termino. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que: Si el número esta restando (Ej: −6): Pasa al otro lado sumando (+6) Si el número esta sumando (Ej: +9): Pasa al otro lado restando (−9) Si el número esta multiplicando (Ej: •2) Pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) Si el número esta dividiendo (en forma fraccionaria) (Ej: n/5) Pasa al otro lado multiplicando (•5) Una vez hemos pasado todos los terminos en nuestra ecuación, esta quedaría así: 9x + 108x − 6x − 16x = 28 + 396 + 9 + 92 Como podrás comprobar todos los monomios con X han quedado a la izquierda del signo igual, y todos los números enteros se han quedado en la derecha.

2- SIMPLIFICACIÓN: Nuestro siguiente objetivo es convertir nuestra ecuación en otra equivalente más simple y corta, por lo que realizaremos la operación de polinomios que se nos plantea Es decir en nuestro caso, por un lado realizamos la operación: 9x+108x-6x-16x Y por otro lado: 28+396+9+92 De forma que nuestra ecuación pasaría a ser esta: 95x = 475

3- DESPEJAR: Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola, para ello volveremos a recurrir a la transposición. Es decir, en nuestra ecuación deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo: x = 475 / 95 Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el número 475/95. Sin embargo debemos simplificar esto. Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto, si nos diera decimal, simplificamos la fracción y ese es el resultado. En nuestra ecuación vemos que si se puede resolver la fracción (475:95=5) por lo tanto x=5 Ya sí hemos resuelto la ecuación, es decir hemos averiguado que el número que x representaba era el 5. Resolución de ecuaciones de primer grado (Problema) Pongamos el siguiente problema: El número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos 2.¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica: x + 3 = 2x − 2 El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x, para ello se sigue este procedimiento: x + 3 = 2x − 2//Primero se pasan todas las x al primer término y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier expresión pasa al otro término haciendo la operación opuesta. Así obtenemos: x − 2x = − 2 − 3//Que simplificado resulta: − x = − 5//Esta expresión nos lleva a una parte muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos términos de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos términos de la ecuación por el mismo número sin que esta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos términos por −1 obtendremos: x = 5//El problema está resuelto Resolución de ecuaciones de segundo grado Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener como mucho 2 soluciones válidas.Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones: -Ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo: x2 − 16 = 0//Pasamos −16 al segundo término x2 = 16//Ahora pasamos el exponente al segundo término haciendo la operación opuesta, en este caso raíz cuadrada

 La ecuación ya está resuelta

-Ecuaciones de la forma ax2 + bx) = 0 Tengamos: 3×2 + 9x = 0//En este tipo de ecuaciones lo primero que hacemos es sacar x factor común de ambas expresiones: x(3x + 9) = 0// Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0, por lo tanto una de los factores tiene que ser igual a 0. Así que o el primer factor (x)es igual a cero (esta es la primera solución) o: 3x + 9 = 0 3x = 9

Por lo tanto, las 2 soluciones válidas para esta ecuación son 0 y 3 -Ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 Tengamos por ejemplo la ecuación: x2 + 5x − 6//Para resolver este tipo de ecuaciones utilizamos directamente la siguiente fórmula:

 //Por lo tanto para resolver esta ecuación sustituimos las letras por los números:
 //A partir de esta fórmula obtenemos que las soluciones válidas para esta ecuación son 1 y −6

TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCION DE RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO.

Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z.

El teorema de De Moivre establece que si un número 

complejo z = r(cos x + i sin x), entonces zn = rn(cos nx + i sin nx), 

en donde n puede ser enteros positivos,
enteros negativos, y exponentes
fraccionarios.


Potencia.

Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:

zn = z•z•..(n veces)..•z = (rx)•(rx)•..(n veces)..•(rx) = (r•r•..(n veces)..•r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n•x

Es decir,

(rx)n = (rn)n•x

Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:

z = r•(cos x + i•sen x) ==> zn = rn•(cos x + i•sen x)n = rn•(cos n•x + i•sen n•x)

De donde:

cos(n•x) + i•sen(n•x) = (cos x + i•sen x)n

expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.

Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.

Ejemplo:

Conocidos cos x y sen x , calculemos cos 4x y sen 4x :

cos 4x + i•sen 4x = (cos x + i•sen x)4 = (40)•cos4x + (41)•cos3x•i•sen x + (42)•cos2x•i2•sen2x + (43)•cos x•i3•sen3x + (44)i4•sen4x = cos4x + 4•i•cos3x•sen x - 6•cos2x•sen2x - 4•i•cos x•sen3x + sen4x = (cos4x - 6•cos2•sen2x + sen4x) + (4•cos3x•sen x - 4•cos x•sen3x)•i

Como dos complejos son iguales si y sólo si lo son sus partes reales así como sus partes imaginarias, tenemos que:

cos 4x = cos4x - 6•cos2x•sen2x + sen4x

sen 4x = 4•cos3x•sen x - 4•cos x•sen3x

Raíz n-ésima de un núnero complejo.

Raíz n-ésima.

Sea z = rx un número complejo. Calculemos su raíz n-ésima. Ésta va a ser un número complejo w = sy de forma que wn = (sy)n = rx. Es decir:

(sn)n•y = rx ==> sn = r ==> s = r1/n

n•y = x + 2•k•pi , con k C Z y = (x + 2•k•pi)/n , con k C Z

Cualquiera de los números complejos que se obtienen de sy al variar k en Z es una raíz n-ésima de z.

Teorema.

Todo numero complejo z tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas.

Demostración.

Sea z = rx un número complejo. Hemos dicho que sy es una raíz n-ésima de z, siendo s = r1/n e y = (x + 2•k•pi)/n , con k C Z.

Si llamamos wk = sy , cuando k C {0,1,2,…,n-1}, obtenemos exactamente n raíces n-ésimas de z distintas. Veamos que cualquier otra raíz coincide con una de estas xk.

Sea t C Z, t distinto de 0,1,2,…,n-1. Entonces, por el algoritmo de la división euclídea es:

t = p•n + r, con 0 <= r < n , y r número entero.

Si notamos por xt = sy, siendo y = (x + 2•t•pi)/n, tenemos que:

y = (x + 2•t•pi)/n = (x + 2•r•pi +2•n•p•pi)/n = (x + 2•r•pi)/n + 2•p•pi

De donde xt y xr tienen el mismo argumento, y por tanto xt = xr. Además, xr es uno de los xk que dijimos antes, ya que r C {0,1,2,…,n-1}.

c.q.d.

En resumen, para calcular la raíz n-ésima del número complejo z = rx , se procede de la siguiente manera:

• El módulo será la raíz n-ésima del módulo de z.

• El argumento viene dado por la fórmula:

y = (x + 2•k•pi)/n dándole a k los valores 0,1,2,…,n-1

FORMA POLAR Y EXPONENCIAL, NUMERO COMPLEJO.

Definición de la unidad imaginaria (i):

i = Ö (– 1)

Potencias de i:

i 0 = 1

i 1 = i

i 2 = – 1

i 3 = – i

i – 1 = – i

i – 2 = – 1

i – 3 = i

Si n Î Z, entonces:

i 4n = 1

i 4n + 1 = i

i 4n + 2 = – 1

i 4n + 3 = – i

Para graficar z y determinar su forma polar.

Sea el complejo Z= a + bi = (a, b).

Representación Gráfica de Z:

Se conviene representar los números complejos mediante puntos en el plano. La abscisa del punto es igual a la parte real “a” del número que representa. La ordenada es igual a la parte imaginaria “b”.

De esta forma, la representación del complejo Z= a + bi es el punto M del plano adjunto.

Este punto M recibe el nombre de AFIJO del complejo Z.

Cuando Z= a (en forma binómica) ó Z= (a, 0) (en forma de par ordenado) tiene su afijo sobre el eje horizontal. Por esta razón, en la representación de los números complejos, el eje de las abscisas recibe el nombre de EJE REAL.

En cambio los complejos en la forma Z=bi ó Z= (0, b) tienen su afijo en el eje vertical. Por esta razón el eje de las ordenadas recibe el nombre de EJE IMAGINARIO.

Con estas dos afirmaciones se puede establecer una biyección entre el conjunto de los números complejos y los puntos del plano: “a todo número complejo corresponde un punto determinado del plano y todo punto del plano es representación de un número complejo determinado”.

MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO.

El módulo de un número complejo z = x + yi, denotado como |z|, se define como (x²+y²)^1/2.

Es la distancia entre el origen y el punto que representa al número complejo.

Por ejemplo, el valor absoluto de 3 + 4i es (3² + 4²)^1/2 = 5.

POTENCIA DE "i".

DEFINICIÓN DE LA UNIDAD IMAGINARIA ( i ):

 {$i = sqrt(−1)$}

POTENCIAS DE i:

 {$i^0 = 1,  i^1 = i, i^2 = −1, i^3 = -i, i^{−1} = -i, i^{−2} = −1, i^{−3}=i$}

RAIZ CUADRADA PRINCIPAL DE UN NUMERO REAL NEGATIVO:

 Si  a > 0 , entonces:

{$sqrt{-a)= i sqrt(a)$}

REPRESENTACIÓN DE UN NUMERO COMPLEJO:

 Cada número complejo se puede representar de la forma  a + bi , donde  a  y  b son números reales.

RELACIÓN DE IGUALDAD EN LOS NÚMEROS COMPLEJOS:

 Si a + bi = c + di, entonces  a = c y b = d

ADICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

 ( a + bi )  +  ( c + di )   =   ( a + c )  +  ( b + d )i
 ( a + bi )  –  ( c + di )   =   ( a – c )  +  ( b – d )i

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

 ( a + bi )( c + di ) = ac + (ad + cb)i + bdi^2, es decir se respetan las reglas algebraicas.
 ( a + bi )( c - di ) = ac + a(-di) + c(bi) + bi(-di) = ac + (cb - ad)i - bdi^2

k( a + bi ) = ka + kbi

INVERSO MULTIPLICATIVO DE UN NUMERO COMPLEJO:

 Si  a + bi  <  0 , entonces:

                       a – bi
 ( a + bi ) – 1   =   ––––––––––
                       a^2 + b^2

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

 Si  a + bi  ¹  0 , entonces:

 c + di      ( ac + bd )  +  ( ad – bc ) i
 ––––––   =   –––––––––––––––––––––––
 a + bi             a 2  +  b 2

CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO:

 El  conjugado  de  a + bi  es  a – bi

MODULO DE UN NUMERO COMPLEJO:

 $El  módulo  de $} 

FORMA PAR ORDENADO DE UN NUMERO COMPLEJO:

 El complejo  a + bi  se puede representar como  ( a , b ) .
 De esta forma:
 ( a , b )  +  ( c , d )   =   ( a  +  c , b  +  d ) 

 ( a , b )  –  ( c , d )   =   ( a  –  c , b  –  d )

 ( a , b )( c , d )   =   ( ac  –  bd , ad  +  bc )

 k ( a , b )   =   ( ka , kb )

 ( a , b ) – 1   =   ( a / ( a 2  +  b 2 ) , – b / ( a 2  +  b 2 ) )

 ( c , d ) / ( a , b )   =   ( ( ac  +  bd ) / ( a 2  +  b 2 ) , ( ad  –  bc ) / ( a 2  +  b 2 ) ) 

FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO:

 El complejo  a + bi  se puede representar como  r ( cos ( a )  +  i sen ( a ) )   
 o en su forma abreviada  r c i s ( a ) , donde:
 r   =   Ö ( a 2  +  b 2 )     y     tg ( a )   =   b / a
 a   =   tg – 1 ( b / a )   ,   si  a > 0
 a   =   180º  +  tg – 1 ( b / a )   ,   si  a < 0
 a   =   90º   ,   si   a  =  0     y     b > 0
 a   =   270º   ,   si   a  =  0     y     b < 0    

 Sean  z   =   r ( cos ( a )  +  i sen ( a ) )   y  
 w   =   R ( cos ( b )  +  i sen ( b ) )   , entonces:

 z w   =   r ( cos ( q )  +  i sen ( q ) )  
 donde   r   =   r R     y     q   =   a  +  b 

 z – 1   =   r – 1 ( cos ( a )  –  i sen ( a ) )  ;   r  ¹  0

 z / w   =   r ( cos ( q )  +  i sen ( q ) )  
  donde  r   =   r / R   ( R ¹ 0 )     y     q   =   a  –  b

 z n   =   r n ( cos ( n a )  +  i sen ( n a ) )     ( Teorema de De Moivre )

 z 1 / n   =   r 1 / n ( cos ( q )  +  i sen ( q ) )
  donde  q   =   ( a  +  360º ´ k ) / n   y   k   =   0 , 1 , 2 , 3 ,….., n – 1
                                                                                                                Volver arriba

EJEMPLOS Y EJERCICIOS

 Dados   z  =  4  +  2i ,  w  =  3  -  5i   y   v  =  - 2  +  7i  ,  calcula:
  1 )  w  +  v   =   ( 3  -  5i )  +  ( - 2  +  7i )   =   3  -  2  +  ( -  5  +  7 ) i   =   1  +  2i  
  2 )  z  +  w   =
  3 )  w  -  v   =
  4 )  v ´ w   =   ( - 2  +  7i )( 3  -  5i )   =   - 6  +  10i  +  21i  -  35i 2   =
                         - 6  +  31i  +  35   =   29  +  31i 
  5 )  v ´ z   =
  6 )  w 2   =
  7 )  z - 1   =   ( 4  -  2i ) / ( 42  +  22 )   =   ( 4  -  2i ) / 20   =   ( 2  -  i ) / 10
  8 )  v - 1   =
  9 )  z / v   =

10 ) | z | = Ö ( 4 2 + 2 2 ) = Ö 20 = 2 Ö 5 11 ) | w | = 12 ) | v | =

                                                                                                                Volver arriba
 Calcula:
  1 )  ( Ö 3  +  i ) 6
 r   =   Ö ( 3 + 1 )   =   2
 a   =   tg – 1 ( 1 / Ö 3 )   =   30º
        ( Ö 3  +  i ) 6   =   2 6 ( cos ( 6 ´ 30º ) )  +  i sen ( 6 ´ 30º )   =   
                                   64 ( cos ( 180º )  +  i sen ( 180º ) )   =   - 64
  2 )  ( 1  +  i ) 5   = 
  3 )  ( 1  -  i ) 5   =
  4 )  Las seis raíces sextas de  64
 r  =  64
 a   =   tg – 1 ( 0 / 64 )   =   0º
 x   =   64 1 / 6 c i s ( ( 0º  +  360º ´ k ) / 6 )    ;  k  =  0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
 x   =   2 c i s ( 60º ´ k )     ;  k  =  0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
 x 1   =   2 ( cos ( 0º )  +  i sen ( 0º ) )   =   2
 x 2   =   2 ( cos ( 60º )  +  i sen ( 60º ) )   =   1  +  i Ö 3
 x 3   =   2 ( cos ( 120º )  +  i sen ( 120º ) )   =   - 1  +  i Ö 3
 x 4   =   2 ( cos ( 180º )  +  i sen ( 180º ) )   =   - 2
 x 5   =   2 ( cos ( 240º )  +  i sen ( 240º ) )   =   - 1  -  i  Ö 3
 x 6   =   2 ( cos ( 300º )  +  i sen ( 300º ) )   =   1  -  i Ö 3
  5 )  Las cuatro raíces cuartas de  1
  6 )  Las cuatro raíces cuartas de  i

Potencias De ”i”, módulo o valor absoluto de un número complejo

• Valor absoluto El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto Para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

• Modulo de un vector

Se llama módulo de un complejo a la longitud del vector que lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por r. Su valor se obtiene por la conocida relación: ½ Z1½ = r = Que es la relación que nos permite determinar la longitud de un vector. Sea Z un número complejo. Explique como determinar Sea Z= a +bi.

La raíz cuadrada del complejo a + bi será otro complejo que llamaremos x + yi: = x + yi = x + yi (])

Elevando ambos miembros al cuadrado y reduciendo términos:

a + bi = x2 + 2xyi + y2i2

a + bi = x2 + 2xyi + y2 (−1)

a + bi = (x2 - y2) + 2xyi

Igualando partes reales y partes imaginarias se forma el siguiente sistema: Despejando “y” en ( ]]] ): Sustituyendo este valor en ( ]] ): Expresando en términos de X2:

Tomamos únicamente el valor positivo, pues es mayor que “a” y x2 no puede ser negativo. Además = S

En la ecuación ( ]]] ) podemos observar que “b” tiene el mismo signo que el producto “xy”. Por lo tanto, si “b” es positivo “x” e “y” serán de igual signo y tendremos que: Para b > 0 Para b < 0

Como los signos que deben tomarse para X e Y deben satisfacer la ecuación 2XY= b, hay que hacer las siguientes consideraciones:

Para b > 0: Las raíces deben ser; ambas del mismo signo: positivas o negativas (+,+), (- , -) Para b < 0: Las raíces, se toman con signos opuestos :(+,-),(-, +)

OPERACIONES FUNDAMENTALES, NUMEROS COMPLEJOS.

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES SOBRE NUMEROS COMPLEJOS.

Sea z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces:

a) La condición necesaria y suficiente para que los números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di sean iguales es que a = c y b = d.

b) Para sumar dos números complejos z1 + z2 se suman por una parte, las partes reales y por otra las imaginarias.

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i

c) Para restar dos números complejos z1 - z2 se restan, por una parte, las partes reales y por otra las imaginarias.

z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = a – c + (b – d)i

d) Para multiplicar dos números complejos z1z2 se efectúa la operación como si se tratase de dos binomios sustituyendo i2 por −1.

z1z2 = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i.

e) Para dividir dos números complejos , se multiplican el numerador y denominador por el conjugado del denominador y se sustituye i2 por −1.

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS.

Ejemplo 1.4: z = (5 + 4i) + (3 + 2i) = 5 + 3 + (4 + 2)i = 8 + 6i

z = (−6 + 2i) + (4 – 5i) = −6 + 4 + (2 – 5)i = −2 – 3i

Ejemplo 1.5: z = (3 + 2i) – (5 – 3i) = 3 – 5 + [2 – (−3)]i = - 2 + 5i

z = (−1 + i) – (−3 + 2i) = −1 – (−3) + (1 – 2)i = 2 – i

Ejemplo 1.6: z = (5 +3i)(2 – 2i) = (5)(2) – (3)(−2) + [(5)(−2) + (3)(2)]i

= 10 + 6 +(−10 + 6)i

= 16 – 4i.

z = (−3 +2i)(−6 + 2i) = (−3)(−6) - (2)(2) + [(−3)(2) + (−6)(2)]i

= 18 – 4 + (−6 −12)i

= 14 – 18i

Operaciones Fundamentales Números Complejos

• Representación Binomial

Cada complejo se representa en forma binomial como:

z = a + ib

a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así:

Z = 3 + 4i

a = Re (z) = 3

b = Im (z) = 4

• Plano de los números complejos

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.

Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.

Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:

• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

• (a, b) • (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter único de ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

• Numero complejos conjugados

Llamaremos conjugados a dos complejos Z y que tengan sus afijos simétricos con respecto al eje real. Basta cambiar en éste el signo de la parte imaginaria.

• En Forma de pares ordenados:

Si Z = (a, b) Entonces: = (a, -b)

El conjugado de un complejo z (denotado como ó) es un nuevo número complejo, definido así:

Con este número se cumplen las propiedades:

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Ejemplo: Z = 3 + 4 i

= 3 – 4 i

= numero complejo conjugado

• Adición de numero complejos

La adición de números complejos es una operación binaria tal, que para todo par de complejos (x1, x2), (x3, x4) le hace corresponder el complejo que tiene como primera componente la suma de las primeras y como segunda componente la suma de las segundas.

O sea: (x1, x2) + (x3, x4) = (x1 + x3, x2 + x4).

En Forma Binómica:

Es decir, se suman algebraicamente entre sí por separado sus partes reales y sus partes imaginarias.

Ejemplo:

• Dados Z1 = a1 + b1i y Z2 = a2 + b2i

Z1 + Z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) i

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

(2 - 3i) + (−3 + i) = (2 - 3) + i (−3 + 1) = −1 - 2i

(−3 + i) + (2 - 3i) = (−3 + 2) + i (1 - 3) = −1 - 2i

• Sustracción de números complejos

Sean Z1, Z2 dos números complejos, definimos la operación sustracción así:

Z1 - Z2 = Z1 + (- Z2)

Es decir, restar Z2 de Z1, es lo mismo que sumarle a Z1 el opuesto de Z2.

Si Z1 = (x, y) & Z2 = (a, b)

Entonces:

Z1 - Z2 = Z1 + (- Z2) = (x, y) + (-a, -b) = (x - a, y - b).

En forma Binómica:

Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí. Entonces:

Z1 - Z2 =(x + yi) - (a + bi) =(x - a) - (y - b) i.

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i

• Multiplicación de números complejos

Se multiplican según la regla ordinaria del producto de dos binomios, teniendo en cuenta que i2 = −1. Al final se reducen términos semejantes.

La multiplicación puede hacerse más directamente observando que:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2

ac + (ad + bc) i + bd (−1) = (ac - bd) + (ad + bc)i

• En forma de pares ordenados:

Sean Z1 = (a, b) y Z2 = (x, y) dos números complejos, entonces, por definición: Z1 ∙ Z2 = (a, b) ∙ (x, y) = (a ∙ x - b ∙ y, a ∙ y+b ∙ x).

(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i

k (a + bi) = ka + kbi

• División de un numero complejo

Para dividir expresiones complejas, se expresa el cociente en forma de fracción y se racionaliza el denominador de esta fracción, multiplicando ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se sustituye i2 por −1.

Si a + bi ¹ 0, entonces:

c + di (ac + bd) + (ad – bc) i

ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano GIROLAMO CARDANO (1501–11576) quien encontró la formula para resolver las ecuaciones cúbicas. El termino “numero complejo” fue introducido por el gran matemático alemán CARL FRIEDRICH GAUSS (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no eclidiana, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

DEFINICION DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.

Los números complejos

Tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.

Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:

Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas.

Representación binomial

Cada complejo se representa en forma binomial como:

z = a + ib

a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así:

a = Re (z)

b = Im (z)

Plano de los números complejos

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.

Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.

Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) • (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Valor absoluto, conjugado y distancia

Valor absoluto

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.

Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Conjugado

El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:

Con este número se cumplen las propiedades:

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Representación polar y geometría

Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b (“coordenadas rectangulares”) es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.

Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a,b). Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a,b), a la que llamaremos r, y, que como hemos visto antes, es igual al módulo de z, expresado | z | .

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado φ.

La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo φ:

Veamos cómo obtenemos esa expresión:

Formamos un triángulo rectángulo, con r como hipotenusa, y con catetos a y b. Vemos que:

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

Sacamos factor común r:

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

No obstante, el ángulo φ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:

Por esto, generalmente restringimos φ al intervalo (-π, π] y a éste φ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ = arg (z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

División:

Potenciación:

Geometría y operaciones con complejos

Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z1 =a1 + ib1 y z2 = a2 + ib2, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a1, b1) y (a2,b2), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z1 + z2.

Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z1 y z2, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto z1 • z2. La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la una transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.

Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (−1) • (−1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º.

Soluciones de ecuaciones polinómicas

Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

Análisis complejo

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales. de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro dimensiones.

Un poco de historia

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raices reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raices de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX

Aplicaciones

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma

f(t) = z eiωt

donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

En ecuaciones diferenciales, es habitual encontrar primero las raíces complejas r de la ecuación característica de la ecuación diferencial de primer grado y luego intentar resolver el sistema en términos de las funciones base de la forma: f(t) = ert.