Tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.
Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:
Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas.
Representación binomial
Cada complejo se representa en forma binomial como:
z = a + ib
a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así:
a = Re (z)
b = Im (z)
Plano de los números complejos
Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.
Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.
Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) • (c, d) = (ac - bd, bc + ad).
Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.
Valor absoluto, conjugado y distancia
Valor absoluto
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.
Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto
para cualquier complejo z y w.
Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.
Conjugado
El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:
Con este número se cumplen las propiedades:
Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.
Representación polar y geometría
Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b (“coordenadas rectangulares”) es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.
Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a,b). Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a,b), a la que llamaremos r, y, que como hemos visto antes, es igual al módulo de z, expresado | z | .
Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado φ.
La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo φ:
Veamos cómo obtenemos esa expresión:
Formamos un triángulo rectángulo, con r como hipotenusa, y con catetos a y b. Vemos que:
Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:
Sacamos factor común r:
Según la Fórmula de Euler, vemos que:
No obstante, el ángulo φ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:
Por esto, generalmente restringimos φ al intervalo (-π, π] y a éste φ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ = arg (z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.
La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:
División:
Potenciación:
Geometría y operaciones con complejos
Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z1 =a1 + ib1 y z2 = a2 + ib2, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a1, b1) y (a2,b2), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z1 + z2.
Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z1 y z2, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto z1 • z2. La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la una transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.
Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (−1) • (−1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º.
Soluciones de ecuaciones polinómicas
Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.
Análisis complejo
Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales. de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro dimensiones.
Un poco de historia
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raices reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raices de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX
Aplicaciones
Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma
f(t) = z eiωt
donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.
El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).
En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.
En ecuaciones diferenciales, es habitual encontrar primero las raíces complejas r de la ecuación característica de la ecuación diferencial de primer grado y luego intentar resolver el sistema en términos de las funciones base de la forma: f(t) = ert.
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