POTENCIA DE "i".

DEFINICIÓN DE LA UNIDAD IMAGINARIA ( i ):

 {$i = sqrt(−1)$}

POTENCIAS DE i:

 {$i^0 = 1,  i^1 = i, i^2 = −1, i^3 = -i, i^{−1} = -i, i^{−2} = −1, i^{−3}=i$}

RAIZ CUADRADA PRINCIPAL DE UN NUMERO REAL NEGATIVO:

 Si  a > 0 , entonces:

{$sqrt{-a)= i sqrt(a)$}

REPRESENTACIÓN DE UN NUMERO COMPLEJO:

 Cada número complejo se puede representar de la forma  a + bi , donde  a  y  b son números reales.

RELACIÓN DE IGUALDAD EN LOS NÚMEROS COMPLEJOS:

 Si a + bi = c + di, entonces  a = c y b = d

ADICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

 ( a + bi )  +  ( c + di )   =   ( a + c )  +  ( b + d )i
 ( a + bi )  –  ( c + di )   =   ( a – c )  +  ( b – d )i

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

 ( a + bi )( c + di ) = ac + (ad + cb)i + bdi^2, es decir se respetan las reglas algebraicas.
 ( a + bi )( c - di ) = ac + a(-di) + c(bi) + bi(-di) = ac + (cb - ad)i - bdi^2

k( a + bi ) = ka + kbi

INVERSO MULTIPLICATIVO DE UN NUMERO COMPLEJO:

 Si  a + bi  <  0 , entonces:

                       a – bi
 ( a + bi ) – 1   =   ––––––––––
                       a^2 + b^2

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

 Si  a + bi  ¹  0 , entonces:

 c + di      ( ac + bd )  +  ( ad – bc ) i
 ––––––   =   –––––––––––––––––––––––
 a + bi             a 2  +  b 2

CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO:

 El  conjugado  de  a + bi  es  a – bi

MODULO DE UN NUMERO COMPLEJO:

 $El  módulo  de $} 

FORMA PAR ORDENADO DE UN NUMERO COMPLEJO:

 El complejo  a + bi  se puede representar como  ( a , b ) .
 De esta forma:
 ( a , b )  +  ( c , d )   =   ( a  +  c , b  +  d ) 

 ( a , b )  –  ( c , d )   =   ( a  –  c , b  –  d )

 ( a , b )( c , d )   =   ( ac  –  bd , ad  +  bc )

 k ( a , b )   =   ( ka , kb )

 ( a , b ) – 1   =   ( a / ( a 2  +  b 2 ) , – b / ( a 2  +  b 2 ) )

 ( c , d ) / ( a , b )   =   ( ( ac  +  bd ) / ( a 2  +  b 2 ) , ( ad  –  bc ) / ( a 2  +  b 2 ) ) 

FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO:

 El complejo  a + bi  se puede representar como  r ( cos ( a )  +  i sen ( a ) )   
 o en su forma abreviada  r c i s ( a ) , donde:
 r   =   Ö ( a 2  +  b 2 )     y     tg ( a )   =   b / a
 a   =   tg – 1 ( b / a )   ,   si  a > 0
 a   =   180º  +  tg – 1 ( b / a )   ,   si  a < 0
 a   =   90º   ,   si   a  =  0     y     b > 0
 a   =   270º   ,   si   a  =  0     y     b < 0    

 Sean  z   =   r ( cos ( a )  +  i sen ( a ) )   y  
 w   =   R ( cos ( b )  +  i sen ( b ) )   , entonces:

 z w   =   r ( cos ( q )  +  i sen ( q ) )  
 donde   r   =   r R     y     q   =   a  +  b 

 z – 1   =   r – 1 ( cos ( a )  –  i sen ( a ) )  ;   r  ¹  0

 z / w   =   r ( cos ( q )  +  i sen ( q ) )  
  donde  r   =   r / R   ( R ¹ 0 )     y     q   =   a  –  b

 z n   =   r n ( cos ( n a )  +  i sen ( n a ) )     ( Teorema de De Moivre )

 z 1 / n   =   r 1 / n ( cos ( q )  +  i sen ( q ) )
  donde  q   =   ( a  +  360º ´ k ) / n   y   k   =   0 , 1 , 2 , 3 ,….., n – 1
                                                                                                                Volver arriba

EJEMPLOS Y EJERCICIOS

 Dados   z  =  4  +  2i ,  w  =  3  -  5i   y   v  =  - 2  +  7i  ,  calcula:
  1 )  w  +  v   =   ( 3  -  5i )  +  ( - 2  +  7i )   =   3  -  2  +  ( -  5  +  7 ) i   =   1  +  2i  
  2 )  z  +  w   =
  3 )  w  -  v   =
  4 )  v ´ w   =   ( - 2  +  7i )( 3  -  5i )   =   - 6  +  10i  +  21i  -  35i 2   =
                         - 6  +  31i  +  35   =   29  +  31i 
  5 )  v ´ z   =
  6 )  w 2   =
  7 )  z - 1   =   ( 4  -  2i ) / ( 42  +  22 )   =   ( 4  -  2i ) / 20   =   ( 2  -  i ) / 10
  8 )  v - 1   =
  9 )  z / v   =

10 ) | z | = Ö ( 4 2 + 2 2 ) = Ö 20 = 2 Ö 5 11 ) | w | = 12 ) | v | =

                                                                                                                Volver arriba
 Calcula:
  1 )  ( Ö 3  +  i ) 6
 r   =   Ö ( 3 + 1 )   =   2
 a   =   tg – 1 ( 1 / Ö 3 )   =   30º
        ( Ö 3  +  i ) 6   =   2 6 ( cos ( 6 ´ 30º ) )  +  i sen ( 6 ´ 30º )   =   
                                   64 ( cos ( 180º )  +  i sen ( 180º ) )   =   - 64
  2 )  ( 1  +  i ) 5   = 
  3 )  ( 1  -  i ) 5   =
  4 )  Las seis raíces sextas de  64
 r  =  64
 a   =   tg – 1 ( 0 / 64 )   =   0º
 x   =   64 1 / 6 c i s ( ( 0º  +  360º ´ k ) / 6 )    ;  k  =  0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
 x   =   2 c i s ( 60º ´ k )     ;  k  =  0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
 x 1   =   2 ( cos ( 0º )  +  i sen ( 0º ) )   =   2
 x 2   =   2 ( cos ( 60º )  +  i sen ( 60º ) )   =   1  +  i Ö 3
 x 3   =   2 ( cos ( 120º )  +  i sen ( 120º ) )   =   - 1  +  i Ö 3
 x 4   =   2 ( cos ( 180º )  +  i sen ( 180º ) )   =   - 2
 x 5   =   2 ( cos ( 240º )  +  i sen ( 240º ) )   =   - 1  -  i  Ö 3
 x 6   =   2 ( cos ( 300º )  +  i sen ( 300º ) )   =   1  -  i Ö 3
  5 )  Las cuatro raíces cuartas de  1
  6 )  Las cuatro raíces cuartas de  i

Potencias De ”i”, módulo o valor absoluto de un número complejo

• Valor absoluto El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto Para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

• Modulo de un vector

Se llama módulo de un complejo a la longitud del vector que lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por r. Su valor se obtiene por la conocida relación: ½ Z1½ = r = Que es la relación que nos permite determinar la longitud de un vector. Sea Z un número complejo. Explique como determinar Sea Z= a +bi.

La raíz cuadrada del complejo a + bi será otro complejo que llamaremos x + yi: = x + yi = x + yi (])

Elevando ambos miembros al cuadrado y reduciendo términos:

a + bi = x2 + 2xyi + y2i2

a + bi = x2 + 2xyi + y2 (−1)

a + bi = (x2 - y2) + 2xyi

Igualando partes reales y partes imaginarias se forma el siguiente sistema: Despejando “y” en ( ]]] ): Sustituyendo este valor en ( ]] ): Expresando en términos de X2:

Tomamos únicamente el valor positivo, pues es mayor que “a” y x2 no puede ser negativo. Además = S

En la ecuación ( ]]] ) podemos observar que “b” tiene el mismo signo que el producto “xy”. Por lo tanto, si “b” es positivo “x” e “y” serán de igual signo y tendremos que: Para b > 0 Para b < 0

Como los signos que deben tomarse para X e Y deben satisfacer la ecuación 2XY= b, hay que hacer las siguientes consideraciones:

Para b > 0: Las raíces deben ser; ambas del mismo signo: positivas o negativas (+,+), (- , -) Para b < 0: Las raíces, se toman con signos opuestos :(+,-),(-, +)