Sea z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces:
a) La condición necesaria y suficiente para que los números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di sean iguales es que a = c y b = d.
b) Para sumar dos números complejos z1 + z2 se suman por una parte, las partes reales y por otra las imaginarias.
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i
c) Para restar dos números complejos z1 - z2 se restan, por una parte, las partes reales y por otra las imaginarias.
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = a – c + (b – d)i
d) Para multiplicar dos números complejos z1z2 se efectúa la operación como si se tratase de dos binomios sustituyendo i2 por −1.
z1z2 = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i.
e) Para dividir dos números complejos , se multiplican el numerador y denominador por el conjugado del denominador y se sustituye i2 por −1.
1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS.
Ejemplo 1.4: z = (5 + 4i) + (3 + 2i) = 5 + 3 + (4 + 2)i = 8 + 6i
z = (−6 + 2i) + (4 – 5i) = −6 + 4 + (2 – 5)i = −2 – 3i
Ejemplo 1.5: z = (3 + 2i) – (5 – 3i) = 3 – 5 + [2 – (−3)]i = - 2 + 5i
z = (−1 + i) – (−3 + 2i) = −1 – (−3) + (1 – 2)i = 2 – i
Ejemplo 1.6: z = (5 +3i)(2 – 2i) = (5)(2) – (3)(−2) + [(5)(−2) + (3)(2)]i
= 10 + 6 +(−10 + 6)i
= 16 – 4i.
z = (−3 +2i)(−6 + 2i) = (−3)(−6) - (2)(2) + [(−3)(2) + (−6)(2)]i
= 18 – 4 + (−6 −12)i
= 14 – 18i
Operaciones Fundamentales Números Complejos
• Representación Binomial
Cada complejo se representa en forma binomial como:
z = a + ib
a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así:
Z = 3 + 4i
a = Re (z) = 3
b = Im (z) = 4
• Plano de los números complejos
Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.
Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.
Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:
• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
• (a, b) • (c, d) = (ac - bd, bc + ad).
Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter único de ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.
• Numero complejos conjugados
Llamaremos conjugados a dos complejos Z y que tengan sus afijos simétricos con respecto al eje real. Basta cambiar en éste el signo de la parte imaginaria.
- En Forma de pares ordenados:
Si Z = (a, b) Entonces: = (a, -b)
El conjugado de un complejo z (denotado como ó) es un nuevo número complejo, definido así:
Con este número se cumplen las propiedades:
Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.
Ejemplo: Z = 3 + 4 i
= 3 – 4 i
= numero complejo conjugado
• Adición de numero complejos
La adición de números complejos es una operación binaria tal, que para todo par de complejos (x1, x2), (x3, x4) le hace corresponder el complejo que tiene como primera componente la suma de las primeras y como segunda componente la suma de las segundas.
O sea: (x1, x2) + (x3, x4) = (x1 + x3, x2 + x4).
En Forma Binómica:
Es decir, se suman algebraicamente entre sí por separado sus partes reales y sus partes imaginarias.
Ejemplo:
- Dados Z1 = a1 + b1i y Z2 = a2 + b2i
Z1 + Z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) i
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
(2 - 3i) + (−3 + i) = (2 - 3) + i (−3 + 1) = −1 - 2i
(−3 + i) + (2 - 3i) = (−3 + 2) + i (1 - 3) = −1 - 2i
• Sustracción de números complejos
Sean Z1, Z2 dos números complejos, definimos la operación sustracción así:
Z1 - Z2 = Z1 + (- Z2)
Es decir, restar Z2 de Z1, es lo mismo que sumarle a Z1 el opuesto de Z2.
Si Z1 = (x, y) & Z2 = (a, b)
Entonces:
Z1 - Z2 = Z1 + (- Z2) = (x, y) + (-a, -b) = (x - a, y - b).
En forma Binómica:
Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí. Entonces:
Z1 - Z2 =(x + yi) - (a + bi) =(x - a) - (y - b) i.
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i
• Multiplicación de números complejos
Se multiplican según la regla ordinaria del producto de dos binomios, teniendo en cuenta que i2 = −1. Al final se reducen términos semejantes.
La multiplicación puede hacerse más directamente observando que:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
ac + (ad + bc) i + bd (−1) = (ac - bd) + (ad + bc)i
- En forma de pares ordenados:
Sean Z1 = (a, b) y Z2 = (x, y) dos números complejos, entonces, por definición: Z1 ∙ Z2 = (a, b) ∙ (x, y) = (a ∙ x - b ∙ y, a ∙ y+b ∙ x).
(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i
k (a + bi) = ka + kbi
• División de un numero complejo
Para dividir expresiones complejas, se expresa el cociente en forma de fracción y se racionaliza el denominador de esta fracción, multiplicando ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se sustituye i2 por −1.
Si a + bi ¹ 0, entonces:
c + di (ac + bd) + (ad – bc) i
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